Xarxes Complexes - Dinàmica de poblacions - Mecànica Celeste - Sistemes dinàmics discrets - Aplicacions
Molts aspectes del món físic, biològic i tecnològic estan organitzats en sistemes de molts elements amb complicats patrons de connexions entre ells. Les xarxes d’interacció de proteïnes, xarxes de regulació gènica, xarxes socials, xarxes de distribució elèctrica, Internet o el WWW són exemples d’aquests sistemes que hom anomena xarxes complexes. Aquestes hi són presents en un rang molt gran de mides i complexitats, i molts cops es caracteritzen per respondre de manera col·lectiva a estímuls externs de manera que presenten les anomenades propietats emergents. A la figura hi ha representada la xarxa tròfica (o de “qui es menja a qui”) de les espècies que habiten un escull marí del Carib http://thecity.sfsu.edu/~wow/gallery_index.html).
Des de fa relativament poc es comencen a tenir dades sobre algunes d’aquestes xarxes i, a més, prou capacitat computacional per a estudiar l’ingent volum de dades que les descriuen. Això ha provocat que a finals dels anys noranta sorgissin els primers models matemàtics per al creixement d’aquestes xarxes a mesura que nous elements s’hi van afegint. L’estudi de les propietats de l’arquitectura d’aquestes xarxes segons els diferents mecanismes de creixement de les xarxes és un dels objectius d’aquesta línia de recerca del grup.
Però les xarxes no només són objecte d’estudi per si mateixes sinó que també defineixen el terreny de joc on tenen lloc diferents processos: transmissió d’informació, propagació d’energia, etc. Un dels casos més interessants és el de la propagació d’epidèmies en xarxes socials o de virus en Internet. En els models clàssics de l’epidemiologia, s’assumeix que tothom té contacte amb tothom a l’hora d’estudiar la propagació de malalties infeccioses. Aquest precepte va deixant pas cada cop més a la idea d’incloure l’estructura de les xarxes de contacte com un ingredient més dels models epidemiològics. L’anomenada epidemiologia en xarxes constitueix el segon tema d’estudi que recentment el nostre grup ha començat. Un exemple aclaridor l’ofereix el brot a la Xina del SARS al novembre de 2002. Aquest és una mostra de quant important és tenir en compte el patró de contactes entre individus a l’hora de fer prediccions sobre possibles pandèmies. En aquest cas, les pessimistes prediccions inicials quan la malaltia es va propagar a altres països com Canadà –la OMS va fer una alerta mundial el 15 de març de 2003- va quedar reduïdes a ben poca cosa quan, al juliol de 2003, l’epidèmia va quedar controlada (http://es.wikipedia.org/wiki/SARS).
Dinàmica de poblacions estructurades i dinàmica adaptativa
Quan s’estudien poblacions amb un cert nivell de detall, tant si són d’animals, de plantes o de polímers en processos de síntesi industrial, hom observa que tots els seus membres no són iguals: presenten diferències en edat, mida, rang social, nivell de reserves, etc. La descripció de la dinàmica d’aquestes poblacions estructurades per una o més variables internes es fa, generalment, mitjançant equacions en derivades parcials. L’estudi de les propietats de les solucions d’aquestes equacions és una les línies de més tradició del grup i sobre la qual han fet la tesi tres dels nostres membres.
D’altra banda, conèixer les propietats de les equacions que descriuen la dinàmica de les poblacions estructurades té aplicacions molt importants en la gestió dels anomenats recursos naturals renovables, com són les pesqueries o les explotacions forestals, on una gestió sostenible dels recursos demana el coneixement de les implicacions que diferents tipus d’explotació poden tenir sobre el futur de les poblacions d’interès.
En el cas de poblacions biològiques, a més, el fet de tenir els individus estructurats per l’edat (o per la mida) permet formular de manera natural qüestions d’optimització del tipus “quina és l’edat òptima de maduració?”, “què és millor: fer A fins arribar a una mida M i després fer B, o fer-ho a l’inrevés? O fer-ho alhora però invertint cada vegada menys energia en una de les dues accions?”, “A quina edat és millor començar a vacunar per tal de prevenir un brot infecciós?” La teoria de jocs evolutius aplicada a aquest tipus de models de la dinàmica de poblacions constitueix el tercer gran tema de recerca d’aquesta línia. En aquest context, una estratègia ve donada pel valor que pren un cert tret o característica fenotípica heretable, com per exemple l’edat de maduració. En particular, estem interessats en el càlcul de les anomenades estratègies evolutivament estables (o invencibles quan són adoptades per una majoria d’individus) per a diferents models de poblacions estructurades i característiques fenotípiques.
Mecànica celeste i astrodinàmica
Un altre dels objectius de la recerca que duen a terme investigadors del grup és l’anàlisi de les equacions que descriuen els moviments dels astres, les anomenades equacions de la mecànica celeste. Tot i ser conegudes des de fa temps, aquestes equacions deixen de tenir solucions conegudes, en general, quan es considera l’atracció alhora de tres o més cossos. Les solucions de les equacions ens descriuen trajectòries a l’espai dels diferents cossos. En són un bon exemple, per la seva bellesa i complexitat geomètrica, les anomenades òrbites hip-hop per a 2n cossos de masses iguals. Un altre exemple són les òrbites p-q ressonants, en les quals un cos de massa petita realitza p voltes al voltant d’un segon cos (per exemple, un planeta), mentre aquest segon cos en realitza q al voltant d’un tercer cos principal (el Sol). Aquest tipus d’òrbites tenen el seu interès en les aplicacions astrodinàmiques. Per exemple, per al disseny de missions amb un o més fly-by (pas proper a un planeta) per reduir la velocitat d’aproximació a un cos. Majoritàriament, la recerca que es desenvolupa se centra en el context del problema de tres cossos restringit (dos cossos, el Sol i un planeta per exemple, i un tercer cos de massa menyspreable) i en descriure la dinàmica al voltant dels punts d’equilibri del sistema. Aquests punts són de gran importància, perquè són els indrets naturals en què cal situar els satèl·lits artificials per tal que s’hi mantinguin durant molt de temps mentre realitzen tasques de recollida d’informació. En particular, el disseny de trajectòries de baix cost que permeten portar els satèl·lits fins a aquests punts i recuperar-los és un altre punt de gran interès.
Altres temes d’estudi dins l’astrodinàmica tenen a veure amb la determinació de trajectòries de conjunts de satèl·lits artificials, anomenats constel·lacions de satèl·lits, de manera que tots junts orbitin seguint una trajectòria nominal tot mantenint la seva posició relativa.
Dinàmica topològica i sistemes dinàmics discrets
Si es pren una aplicació f, definida en un espai mètric X i que pren valors en el mateix espai X, llavors la iteració successiva de f defineix un sistema dinàmic discret. Per a cada punt x de l'espai es pot estudiar el que s'anomena òrbita de x, és a dir, el conjunt de punts que s'obté quan apliquem successivament f. Aquest conjunt pot ser finit, en el sentit que arriba un moment en què tornem a obtenir el valor inicial x (parlem de punt periòdic o òrbita periòdica), o bé pot ser infinit, i en aquest cas l'òrbita pot "omplir" gairebé tot l'espai X, o bé restar confinada en determinades regions de l'espai. Quan es pren com a única hipòtesi que la funció f sigui tan sols contínua, l'estudi de les propietats d'aquestes òrbites de punts s'anomena dinàmica topològica.
L'aplicabilitat d'aquest tipus d'estudis ve donada pel fet que l'aplicació f pot servir com a model per a una gran quantitat de situacions que es donen en el món real.
Alguns membres del grup EDMA treballem en problemes de dinàmica topològica relatius al conjunt de períodes d'aplicacions definides en espais de dimensió 1 (cerles, intervals, arbres i grafs) i a la seva entropia topològica. S'entén per conjunt de períodes el conjunt de tots els períodes de totes les òrbites periòdiques que té l'aplicació. Mentre que l'entropia topològica és una mesura del grau de complicació dinàmica que presenta el sistema. Una aplicació d'entropia zero és "simple" i, per exemple, no presenta el fenomen del caos. Per contra, com més gran és l'entropia més complicada és la manera amb què les successives iteracions de l'aplicació barregen els punts a dins de l'espai.
En els apartats anteriors s’ha posat de manifest l’interès dels membres del grup en les aplicacions de la seva recerca. En aquest sentit, cal destacar també altres àmbits ben diversos com ara els sistemes mecànics, la medicina o, fins i tot, el ball de competició, on la recerca del grup EDMA ha participat.
Sistemes mecànics amb dissipació. Motivats per la seva importància en l’enginyeria, els sistemes mecànics de suspensió-amortiment han estat objecte de recerca en el grup. Aquests sistemes els trobem, per exemple, en tot tipus de vehicles, però també formant part de l’estructura d’edificis, sobretot d'aquells situats en zones d’alt risc d’activitat sísmica. El model clàssic per a aquest tipus de sistemes (equació diferencial ordinària) no té en compte fenòmens com ara possibles diferències internes en la deformació de la molla, la pròpia dissipació interna del dispositiu, o possibles controls externs per regular-ne l’estat. Això ens ha portat a un model d’equacions en derivades parcials per a aquest tipus de sistemes. El comportament asimptòtic (a llarg temps) de les solucions d’aquest model i la comparació amb l’enfocament clàssic formen part d’aquest estudi.
Qualitat rítmica en el ball de competició. L’objectiu d’aquest projecte és obtenir un mètode per mesurar la qualitat rítmica en el ball de competició, on el ritme és un dels criteris utilitzats en la puntuació de les parelles a competició. Tot i la seva importància evident, doncs, la veritat és que el concepte de ritme no està tan clar com sembla i porta, per tant, a interpretacions subjectives. En aquest sentit, el projecte pretén donar objectivitat a aquest criteri: primer, analitzar què s’entén realment per ritme en el ball de competició i donar una representació matemàtica d’aquest concepte; i segon, dissenyar un mètode que a la pràctica permeti mesurar aquest ritme i comprovar-ne la qualitat. Tot això, sempre d’acord amb l’opinió dels experts.
Modelització de la cicatrització de ferides. El procés de cicatrització d’una ferida és un fenomen ben natural, però també extremadament complex des del punt de vista bioquímic. Això fa que, malgrat la gran quantitat de recerca que generen, aquests mecanismes només s’entenguin de manera parcial i, a vegades, només s’analitzin des d’un punt de vista experimental. Durant els darrers anys, però, ha estat significativa l’aportació de la modelització matemàtica a l’estudi teòric d’aquests processos. Els models de les diferents fases que tenen lloc durant la cicatrització serveixen per entendre millor el funcionament dels mecanismes habituals, però també per analitzar altres aspectes més desconeguts, com ara els motius pels quals aquest procés falla en pacients amb certes malalties (la diabetis o les infeccions en són un exemple), donant lloc a problemes de cicatrització, com ara ferides cròniques. A més, la simulació numèrica d’aquests models també representa una eina magnífica a l’hora d’analitzar l’eficàcia de nous tractaments.
Cartogrames i transformacions amb jacobià donat. Els cartogrames són mapes on la representació de cada territori és proporcional a una dada diferent de la grandària del seu territori (per exemple, la població). Des del punt de vista matemàtic, aquest problema es resol trobant una funció (canvi de variables) que tingui jacobià donat (densitat donada). L'algorisme de Moser permet trobar aquesta funció. El nostre objectiu és estudiar la regularitat d'aquest algorisme quan la densitat és una funció no regular.